题目描述:

给你一个固定容量的背包v,和n个物品。每个物品有它的体积和价值,每个物品只能拿1个,在总物品的体积不超过背包容量的前提下可以获得的最大价值。

输入:

第一行输入两个int型整数v和n,表示背包的容量和给出的物品数。(v<=1000,n<=100)然后给出n个物品,vi和mi表示物品的体积和价值。(1<=vi<=mi<=1000)

输出:

输出一个整数表示所能得到的最大价值并换行。

样例输入:

100 5 77 92 22 22 29 87 50 46 99 90

样例输出:

133


背包问题讲解

01背包的状态转换方程

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中,可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。 决策:为了背包中物品总价值最大化,第 i件物品应该放入背包中吗 ?

题目描述:

假设山洞里共有a,b,c,d ,e这5件宝物(不是5种宝物),它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包, 怎么装背包,可以才能带走最多的财富。 有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。 为了叙述方便,用e2单元格表示e行2列的单元格,这个单元格的意义是用来表示只有物品e时,有个承重为2的背包,那么这个背包的最大价值是0,因为e物品的重量是4,背包装不了。

对于d2单元格,表示只有物品e,d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值,仍然是0,因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理,c2=0,b2=3,a2=6。 对于承重为8的背包,a8=15,是怎么得出的呢?

根据01背包的状态转换方程,需要考察两个值, 一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9,另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi;

在这里, f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包,当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值 f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包(等于当前背包承重减去物品a的重量),当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值 f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9,Pi指的是a物品的价值,即6 由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9,所以物品a应该放入承重为8的背包.